如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,BF交⊙O于G,下面的结论:(1)EC=DF;(2)A

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  • 过点O作OM⊥CD于M,

    ∵AE⊥EF,OM⊥EF,BF⊥EF,

    ∴AE∥OM∥BF,

    ∴OA:OB=ME:MF,

    又∵OA=OB,

    ∴ME=MF,

    ∵OM过圆心O,OM⊥CD,

    ∴CM=MD,

    ∴EM-MD=MF-MC,

    即ED=CF,

    ∴EC=ED+BC=CF+BC=DF,

    故(1)正确;

    ∵AE∥OM∥BF,OA=OB,ME=MF,

    ∴AE+BF=2OM≠AB,

    故(2)错误;

    连接AD,CG,AG,

    ∵AB是直径,

    ∴∠AGB=90°,

    ∴四边形AEFG是矩形,

    ∴AE=GF,

    在△AED和△GFC中,

    AE=GF

    ∠AED=∠GFC

    DE=CF,

    ∴△AED≌△GFC(SAS),

    ∴AE=GF,

    故(3)正确;

    连接BD,GC,

    ∵AB是直径,

    ∴∠ADB=90°,

    ∴∠ADE+∠BDF=90°,

    又∠ADE+∠EAD=90°=∠BDF+∠DBF,

    ∴∠ADE=∠DBF,

    ∵△AED≌△GFC,

    ∴ED=CF,

    ∴∠GCF=∠ADE=∠DBF,

    ∵EC=FD,

    ∴△GCF∽△DBF,

    ∴FG:FD=CF:FB,

    ∴FG:EC=ED:FB,即FG•FB=EC•ED,

    故(4)正确.

    综上所述,正确的有(1)(3)(4).