Question

请问如何证明数学中的以下几个公式：[f(x)g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'

Answer 1

证明：

设y=f(x)g(x),则

Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x);

=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x)

=g(x+Δx)[f(x+Δx)-f(x)]+f(x)[g(x+Δx)-g(x)]

=g(x+Δx)Δf+f(x)Δg

于是

(Δy/Δx)=(Δf/Δx)g(x+Δx)+f(x)(Δg/Δx)

因为

lim(Δy/Δx)=lim((Δf/Δx)g(x+Δx)+f(x)(Δg/Δx))

=lim(Δf/Δx)lim[g(x+Δx)]+f(x)lim(Δg/Δx)

且上式中,g'(x)存在,g(x)在点x处连续,所以lim[g(x+Δx)]=g(x)

因此原式被证.