Question

已知函数f(x)＝log4(4x+1)．

Answer 1

解题思路：（1）通过换元，令令t=4^x+1，可求得函数f（x）的值域；

（2）设x₁＜x₂，作差F（x₁）-F（x₂）=

lo

g

4

1+

4

x

1

1+

4

x

2

，利用函数的性质判断其符合小于0，从而可证函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数；

（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点⇔方程

log

4

(4

x

+1)

=

log

4

(a

•2

x

−

3

4

a)

有且只有一个实数根⇔4^x+1=（a•2^x-[3/4]a）有且只有一个实数根，令t=2^x＞0，解关于t的方程t²-at+[3/4]a+1=0（有且只有一个正根）即可．

（1）令t=4^x+1，

∵4^x＞0，

∴t＞1，

∴y=log₄t＞0，

所以函数f（x）的值域为（0，+∞）．…（2分）

（2）∵F（x）=f（x）-4的定义域为R，

∴对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]

=log4

1+4x1

1+4x2，

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

∴4x1＜4x2，

∴0＜4x1+1＜4x2+1，从而

4x1+1

4x2+1＜1，

∴log4

1+4x1

1+4x2＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，

即F（x₁）＜F（x₂），

所以函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数．…（4分）

（3）因为函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，

即方程log4(4x +1)=log4(a•2x−

3

4a)有且只有一个实数根，

∴4^x+1=（a•2^x-[3/4]a）有且只有一个实数根，

∴（2^x）²+1=（a•2^x-[3/4]a），即（2^x）²-a•2^x+[3/4]a+1=0．

令t=2^x＞0，则关于t的方程t²-at+[3/4]a+1=0（*）有且只有一个正根．…（6分）

则方程（*）的两根异号或有两个相等的正根．

∴

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查换元思想与方程思想，考查函数单调性的定义，考查推理与运算能力，属于难题．