(1):必要性：S为T的一个极大无关组,那么,S是T的一个基,于是任意b∈T,b可以被唯一的表示为S中向量的线性组合.
充分性：任意一个b∈T都可以唯一的表示为S中向量的线性组合,由"唯一"二字说明S中的向量是线性无关的.设W为S在T中的补集,那么W中的任意一个向量b1可以被S中的向量线性表示,即再在S中添加任何一个向量,S中的向量组都是线性相关的.于是S是T的一个极大线性无关组.
（2）：T是线性无关组,那dimT=t； 又T可由S线性表示,而且T是线性无关组,S是线性相关组,可知：dimT＜dimS(而不是≤）
又必有dimS≤s
那么t=dimT＜dimSdimS≤s 即：t