函数的表示方法
解析法,图像法.表格法
解析法：并不是所有函数都有解析式,对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的,解析式是为了方便进行数学研究,当然,我们可以通过数学手段对一些东西进行简单的函数拟和,从微积分的角度上来看,任何一小段（小到趋于0）的连续图像都是线性的；
列表法：列表法有两个意义,第一,在已知函数部分性质的情况下,通过表中的数据比较函数的增减性；第二,通过数据进行函数的拟和或者求函数,一般来说,列表只能看到函数的部分情况,而且不能判断函数的性质,当然,在知道函数是什么函数的情况下,列表可以助于求出函数解析式或者是做出函数的图像,列表法是对函数本身损失最大的,因为它丢失了大量的信息,但既然给出的数据列表法也是十分准确的；
图像法：图像法是最直观的,但是也是相对最不准确的,对于连续的函数,可以通过图像看出增减性、零点、顶点、对称轴的大概位置（就是坐标的范围）,但是不能求出其具体位置.所有函数都有图像,但并不是所有图像都有函数,比如圆的方程,因为函数要满足一一对应性.在解决线性问题的时候,准确的函数图像可能可以直接让你看出答案.
函数解析式的常用方法
[题型一]配凑法
例1.已知f(■+1)=x+2■,求f(x).
分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,其实质是对应法则f：x→y,因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言,“y”是怎样的规律.
∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小结：此种解法为配凑法,通过观察、分析,将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式,即变为含(■+1)的表达式,这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.
[题型二]换元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).
分析：视1-cosx为一整体,应用数学的整体化思想,换元即得.
设t=1-cosx
∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=(t),将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便得f(x)的解析式.
注意：换元后要确定新元t的取值范围.
②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法,它的基本功能是：化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的.常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛.
[题型三]待定系数法
例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)＝0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.
分析：由于f(x)是二次函数,其解析式的基本结构已定,可用待定系数法处理.
设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知,该函数图象关于直线x=2对称
∴-■=2,即b=-4a……①
又图象过点(0,3) ∴c=3……②
由方程f(x)=0的两实根平方和为10,得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1,b=-4,c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果.类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时,可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时,根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[题型四]消元法
例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx,其中a、b、c都是非零常数,a≠±b,求函数y=f(x)的解析式.
分析：求函数y=f(x)的解析式,由已知条件知必须消去f(■),不难想到再寻找一个方程,构成方程组,消去f(■)得f(x).如何构成呢?充分利用x和■的倒数关系,用■去替换已知中的x便可得到另一个方程.
在已知等式中,将x换成■,得af(■)+bf(x)=■,把它与原条件式联立,得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
(周六继续刊登)
有同学通过QQ询问下面的数学题,我们请天津四中的孟黎辉老师来回答.
问1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的两根满足一个条件：一根大于k,一根小于k(k是实数),求a的取值范围.(此题一种方法是图象法,还有一种方法,能告诉这两种方法吗?)
答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1图象为开口向上的抛物线,因此只需f(k)＜0即可.
∴k2+ak+a+1＜0,即a(k+1)＜-k2-1
∴当k＞-1时,a＜■；当k＜-1时,a＞■；当k=-1时,a无解.
方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0
只需(x1-k)(x2-k)＜0即可,x1x2-k(x1+x2)+k2＜0
即a+1+ka+k2＜0,以下同方法一.
问2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)＜0,而不需再求根的判别式是否大于0?
答：法二不需要验判别式,原因可以举个简单例子说明,如：若研究x2+ax+b=0两根满足：一个根大于0,一个根小于0,只需x1x2＜0,即：