Question

超难题 求椭圆x^2+4y^2=1上任意一点到双曲线xy=1上任意一点之间最小距离

Answer 1

椭圆x²+y²/(1/2)²=1,长半轴为1短半轴为1/2,同时把长半轴和短半轴扩大n倍,使其与双曲线xy=1相切,x²/n²+y²/(n/2)²=1,y=1/x,x^4-n²x²+4=0,Δ=0,n²=4,切点(√2,√2/2)和(-√2,-√2/2),双曲线xy=1,y'=-1/x²,过点(√2,√2/2)的切线斜率=-1/4,则与椭圆x²+4y²=1相切且平行双曲线xy=1过点(√2,√2/2)的切线,两切点之间的距离最小,设与椭圆x²+4y²=1相切的直线为y=-x/4+b,解得：b=±√5/4,当b=√5/4,直线x+4y-√5=0,点(√2,√2/2)到直线x+4y-√5=0的距离=|3√2-√5|/√17=(3√2-√5)/√17,点(-√2,-√2/2)到直线x+4y+√5=0的距离=|-3√2+√5|/√17=(3√2-√5)/√17,则任意一点之间最小距离为(3√2-√5)/√17.