反常积分问题计算-4∫(0 +∞)(y^2)×[e^(-4y)-e^(-2y)]dy=8∫(0 +∞)y[(-1/4)(

1个回答

  • 用的是分部积分

    -4∫[0→+∞] y²[e^(-4y)-e^(-2y)] dy

    =-4∫[0→+∞] y²e^(-4y) dy + 4∫[0→+∞] y²e^(-2y) dy

    =∫[0→+∞] y² de^(-4y) - 2∫[0→+∞] y² de^(-2y)

    =y²e^(-4y) - 2∫[0→+∞] ye^(-4y) dy - 2y²e^(-2y) + 4∫[0→+∞] ye^(-2y)dy |[0→+∞]

    =-2∫[0→+∞] ye^(-4y) dy + 4∫[0→+∞] ye^(-2y)dy

    =(1/2)∫[0→+∞] y de^(-4y) - 2∫[0→+∞] yde^(-2y)

    =(1/2)ye^(-4y) - (1/2)∫[0→+∞] e^(-4y) dy - 2ye^(-2y) + 2∫[0→+∞] e^(-2y)dy |[0→+∞]

    =-(1/2)∫[0→+∞] e^(-4y) dy + 2∫[0→+∞] e^(-2y)dy

    =(1/8)e^(-4y) - e^(-2y) |[0→+∞]

    =-1/8 + 1

    =7/8

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