Question

已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

Answer 1

解题思路：根据已知条件得192|a³-1+192=3×2⁶，因为a（a+1）+1是奇数，则192|a-1，于是可得a=192k+1．又0＜a＜2009，所以k=0，1，10．因此，可求得满足条件的所有可能的正整数a的和．

由192|a³+191，可得192|a³-1+192=3×2⁶，

且a³-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）． （5分）

因为a（a+1）+1是奇数，

所以3×2⁶|a³-1等价于2⁶|a-1，

又因为3|（a-1）a（a+1），

所以3|a³-1等价于3|a-1．

因此有192|a-1，于是可得a=192k+1． （15分）

又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10．

因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为

11+192（1+2+…+10）=10571． （20分）

点评：

本题考点： 数的整除性．

考点点评： 本题考查了数的整除性问题，是中档题，难度不大．