(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分

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  • (1)见解析(2)成立(3)△DEF为等边三角形

    (1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90 0

    ∵∠BAC=90 0,∴∠BAD+∠CAE=90 0

    ∵∠BAD+∠ABD=90 0,∴∠CAE=∠ABD。

    又AB="AC" ,∴△ADB≌△CEA(AAS)。∴AE=BD,AD=CE。

    ∴DE="AE+AD=" BD+CE。

    (2)成立。证明如下:

    ∵∠BDA =∠BAC=

    ,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180 0

    。∴∠DBA=∠CAE。

    ∵∠BDA=∠AEC=

    ,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS)。∴AE=BD,AD=CE。

    ∴DE=AE+AD=BD+CE。

    (3)△DEF为等边三角形。理由如下:

    由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA =∠CAE,

    ∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60 0

    ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF。∴∠DBF=∠FAE。

    ∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(AAS)。∴DF=EF,∠BFD=∠AFE。

    ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60 0

    ∴△DEF为等边三角形。

    (1)因为DE=DA+AE,故由AAS证△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE。

    (2)成立,仍然通过证明△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD。

    (3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA =∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=60 0,FB=FA,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠FAE,所以△DBF≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60 0得到△DEF是等边三角形。