Question

要使函数y=1+2的x次方+4的x次方×a在x∈（—∞,1]上y＞0恒成立,求a的取值范围

Answer 1

y=1+2^x+a*4^x

=1+2^x+a*2^2x

=1+2^x+a*(2^x)^2

所以,设2^x=t 因为x∈（—∞,1] 所以 t∈（0,2]

则既要求 y=1+t+a*t^2 在t∈（0,2] 时 y＞0.

又因为 y=a*t^2 +t+1 的对称轴为 t0=-1/2a

1,若 a>0 即 对称轴为 t0=-1/2a < 0

则 y=1+t+a*t^2 在t∈（0,2]为单调增函数

只需y=f（t）,在t=0处 > 0 即可.

所以a>0；且 1+0+a*0^2 >0 恒成立

故 a>0 时原函数在x∈（—∞,1]上y＞0恒成立.

2,若 a=0 则原函数为 y=1+2^x ＞0 恒成立.

3,若a0 -----恒成立

且：1+2+a*2^2=3+4a >0 即 0>a>-3/4

综上 a>-3/4