设 A是m行n列矩阵 [不必是方阵,更不必是对称矩阵],A的第i行、第j列交点元素aij
则A′ [即A的转置矩阵] 的第k行为﹙a1k,a2k ……amk﹚
A的第k列为﹙a1k,a2k ……amk﹚′
∴A′A的第k行、第k列交点元素∑[1≤i≤m]aik×aik＝∑[1≤i≤m]aik²
即A′A的第k个主对角元素＝A的第k列元素的平方和.
从而A′A的迹＝∑[1≤k≤n]﹛∑[1≤i≤m]aik²﹜＝A的全部元素的平方和.
﹙这是一般结果,如果是复数矩阵,用的最多的结果是：
[A的共轭转置矩阵×A]的迹＝A的全部元素的摸的平方和. ﹚