设A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ 第1行减去第2行
=
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 2
2 2 1-λ 第2列加上第1列
=
-1-λ 0 0
2 3-λ 2
2 4 1-λ 按第1行展开
=(-1-λ)(λ²-4λ-5)=0
解得λ=5,-1,-1
当λ=5时,
A-5E=
-4 2 2
2 -4 2
2 2 -4 第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
0 -6 6
2 -4 2
0 6 -6 第1行加上第3行,第2行加上第3行×3/2,第3行除以6
0 0 0
2 0 -2
0 1 -1 第2行除以2,交换次序
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ= -1时,
A+E=
2 2 2
2 2 2
2 2 2 第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
于是正交矩阵P为
1 1 1
1 -1 1
1 0 -2