Question

（2010•黄浦区一模）若数列{an}满足a1＝2，an+1＝1+an1−an(n∈N*)，则该数列的前2011项的乘积

Answer 1

解题思路：先由递推关系式，分析得到数列{a_n}的规律：数列是以4为循环的数列，再求解可得答案．

由递推关系式，得 an+2＝

1+an+1

1−an+1=

1+

1+an

1−an

1−

1+an

1−an=−

1

an，

则 an+4＝−

1

an+2=−

1

−

1

an＝an．

∴{a_n}是以4为循环的一个数列．

由计算，得a₁=2，a2＝−3，a3＝−

1

2，a4＝

1

3，a₅=2，…

∴a₁a₂a₃a₄=1，

∴a₁•a₂…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=1×a₂₀₀₉•a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=a₁•a₂•a₃=3．

故选A．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的应用．

考点点评： 递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．