数列经典题选析 江苏 王海平 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.一,等差数列与等比数列 例1.A={递增等比数列的公比},B={递减等比数列的公比},求A∩B.设q∈A,则可知q>0(否则数列为摆动数列).由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)>0,得当a1>0时,那么q>1;当a10.由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)0时,那么0亦可知 B={q | 0故知A∩B={q | 0说明:貌似无法求解的问题,通过数列的基本量,很快就找到了问题的突破口!例2.求数列1,(1+2),(1+2+22),……,(1+2+22+……+2n-1),……前n项的和.分析:要求得数列的和,当务之急是要求得数列的通项,并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为an,则an=1+2+22+……+2n-1==2n-1.从而该数列前n项的和 Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.等差数列求和公式:2,等比数列求和公式:4,常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和;错位相减法求和;反序相加法求和;分组法求和;裂项法求和;合并法求和;利用数列的通项求和等等.例3.已知等差数列{an}的公差d=,S100=145.设S奇=a1+a3+a5+……+a99,S'=a3+a6+a9+……+a99,求S奇,S'.依题意,可得 S奇+S偶=145,即S奇+(S奇+50d)=145,即2 S奇+25=145,解得,S奇=120.又由S100=145,得 =145,故得a1+a100=2.9 S'=a3+a6+a9+……+a99 =====1.7·33=56.1.说明:整体思想是求解数列问题的有效手段!例4.在数列{an}中,a1=b(b≠0),前n项和Sn构成公比为q的等比数列.(1)求证:数列{an}不是等比数列; (2)设bn=a1S1+a2S2+…+anSn,|q|0 设x=()n,5x2-7x+2>0 ∴x1(舍) 即()n4,故使得上式成立的最小n∈N+为5,故最少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到60%.三,归纳,猜想与证明 例7.已知数列{ an}满足Sn+an=(n2+3n-2),数列{ bn}满足b1=a1,且bn=an-an-1-1(n≥2).(1)试猜想数列{ an}的通项公式,并证明你的结论; (1)∵Sn+an=(n2+3n-2),S1=a1,∴2a1=(1+3×1-2)=1,∴a1==1-.当n=2时,有+2a2=(22+3×2-2)=4,∴a2==2- 猜想,得数列{ an}的通项公式为an=n- (2)若cn=b1+b2+…+bn,求的值.当n=3时,有++3a3=8,∴a3==3-.用数学归纳法证明如下:①当n=1 查看原帖
能推荐几道经典的数列题吗?我数列学的不好,想找几道好题做,