Question

已知数列数列{a n }前n项和 S n =- 1 2 n 2 +kn （其中k∈N * ），且S n 的最大值为8．

Answer 1

（Ⅰ） S n =-

1

2 n 2 +kn =-

1

2 (n-k ) 2 +

1

2 k 2 ，

又k∈N ^*，所以当n=k时S _n取得最大值为

1

2 k 2 =8，解得k=4，

则 S n =-

1

2 n 2 +4n ，

当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=（ -

1

2 n 2 +4n）-[-

1

2 （n-1） ²+4（n-1）]=-n+

9

2 ，

当n=1时，a ₁=-

1

2 +4=

7

2 ，适合上式，

综上，a _n=-n+

9

2 ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b _n=9-2a _n=9-2（-n+

9

2 ）=2n，

所以

1

b n b n+1 =

1

2n(2n+2) =

1

4 (

1

n -

1

n+1 ) ，

T _n=

1

b 1 b 2 +

1

b 2 b 3 +…+

1

b n b n+1 =

1

4 (1-

1

2 +

1

2 -

1

3 +…+

1

n -

1

n+1 ) =

1

4 (1-

1

n+1 ) =

n

4(n+1) ，

所以数列 {

1

b n b n+1 } 前n项和T _n为

n

4(n+1) ．