幂级数的有关概念
定义6 具有下列形式的函数项级数 （1）称为幂级数.幂级数
特别地,在中令即上述形式化为 （2）称为 的幂级数.取为常数项级数,如收敛,其和为 取为常数项级数,如收敛,其和为 取为和函数项级数,总收敛,其和为 对幂级数主要讨论两个问题：（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数.幂级数的收敛域具有特别的结构 定理1：（i）如 在 收敛,则对于满足 的一切 ,都绝对收敛； （ii）如 在 发散,则对于满足 的一切 ,发散.证：（1）∵ 收敛 ∴ （收敛数列必有界） 而 为几何级数,当 即收 ∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛 （2）反证：如存在一点 使 收 则由（1） 收,矛盾.由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使 收敛； 发散,称R为收敛半径,（-R,R）为收敛区间.
幂级数的性质
定理 求幂级数的和函数：利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式