Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有 f(m)+f(n)

Answer 1

（1）任取x ₁，x ₂∈[-1，1]且x ₁＜x ₂，则 f( x 2 )-f( x 1 )=f( x 2 )+f(- x 1 )=

f( x 2 )+f(- x 1 )

x 2 +(- x 1 ) •( x 2 - x 1 )＞0

∴f（x ₂）＞f（x ₁），∴f（x）为增函数

∵ f(x+

1

2 )＜f(1-x)

∴

-1≤x+

1

2 ≤1

-1≤1-x≤1

x+

1

2 ＜1-x

∴ 0≤x＜

1

4 ，

即不等式 f(x+

1

2 )＜f(1-x) 的解集为 [0，

1

4 ) ．

（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，

∴f（x）≤t ²-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t ²-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，

即t ²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．

把y=t ²-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．

∵t ²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立

∴

t 2 -2×(-1)×t≥0

t 2 -2×1×t≥0

∴

t 2 +2t≥0

t 2 -2t≥0

解得t≤-2或t=0或t≥2．