1.已知 向量a+向量b+向量c=0
第一问:a.b.c向量模之和为1 求向量a*b+b*c+c*a的值
第二问:a的模为3 b的模为4 c的模为1 求向量a*b+b*c+c*a的值
(1)解析：∵a+b+c=0,|a|+|b|+|c|=1
(a+b+c)^2=0
2(ab+bc+ac)+|a|^2+|b|^2+|c|^2=0
(|a|+|b|+|c|)^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2(|a||b|+|b||c|+|a||c|)=1
2(ab+bc+ac)= 2(|a||b|+|b||c|+|a||c|)-1
(ab+bc+ac)= (|a||b|+|b||c|+|a||c|)-1/2
(2)解析：∵|a|=3|b|=4|c|=1
∴|b|=1/3,|c|=1/4
(|a|+|b|+|c|)^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2(|a||b|+|b||c|+|a||c|)
(1+1/3+1/4)^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+4/3
|a|^2+|b|^2+|c|^2=361/144-4/3=169/144
∴(ab+bc+ac)=-169/288
2.四边形ABCD中 向量AB记为向量a BC记为b CD记为c DA记为d
且向量a*b=b*c=c*d=d*a 判断ABCD形状
解析：∵ab=bc=cd=da
b(a-c)=0,c(b-d)=0,d(c-a)=0,a(d-b)=0
∵a≠0,b≠0,c≠0,d≠0
∴a=c,b=d
∴两组对边分别相等,ABCD为平行四边形