解题思路:(Ⅰ)利用两角和与差的正弦公式化简式子,利用平方关系、条件求出角B的值;
(Ⅱ)利用余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,把数据代入利用不等式求出ac的范围,代入三角形的面积公式求出面积的最大值.
(Ⅰ)由条件得sinB=2(
2
2cosB+
2
2sinB)(
2
2cosB−
2
2sinB),
即sinB=cos2B-sin2B,
由sin2B+cos2B=1得,2sin2B+sinB-1=0,
解得sinB=[1/2]或sinB=-1…(5分)
因为△ABC是锐角三角形,所以B=[π/6]…(7分)
(Ⅱ)由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,
把b=1,B=[π/6]代入可以得到:
1=a2+c2−
3ac≥(2−
3)ac,所以ac≤
1
2−
3=2+
3 …(10分)
所以S△ABC=
1
2acsinB=
1
4ac≤
2+
3
4 …(13分)
当且仅当a=c时取等号,此时△ABC的面积的最大值是
2+
3
4…(14分)
点评:
本题考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理.
考点点评: 本题考查两角和与差的正弦公式,余弦定理,平方关系等,以及利用不等式求三角形面积的最大值,这是常考的题型.