在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB=2sin([π/4]+B)•sin([π/4]-

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  • 解题思路:(Ⅰ)利用两角和与差的正弦公式化简式子,利用平方关系、条件求出角B的值;

    (Ⅱ)利用余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,把数据代入利用不等式求出ac的范围,代入三角形的面积公式求出面积的最大值.

    (Ⅰ)由条件得sinB=2(

    2

    2cosB+

    2

    2sinB)(

    2

    2cosB−

    2

    2sinB),

    即sinB=cos2B-sin2B,

    由sin2B+cos2B=1得,2sin2B+sinB-1=0,

    解得sinB=[1/2]或sinB=-1…(5分)

    因为△ABC是锐角三角形,所以B=[π/6]…(7分)

    (Ⅱ)由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,

    把b=1,B=[π/6]代入可以得到:

    1=a2+c2−

    3ac≥(2−

    3)ac,所以ac≤

    1

    2−

    3=2+

    3 …(10分)

    所以S△ABC=

    1

    2acsinB=

    1

    4ac≤

    2+

    3

    4 …(13分)

    当且仅当a=c时取等号,此时△ABC的面积的最大值是

    2+

    3

    4…(14分)

    点评:

    本题考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理.

    考点点评: 本题考查两角和与差的正弦公式,余弦定理,平方关系等,以及利用不等式求三角形面积的最大值,这是常考的题型.