已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个偶函数的图象,则f(1

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  • 解题思路:先利用函数为定义在R上的奇函数得f(0)=0,f(-x)=-f(x);再与f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个偶函数的图象对应的结论f(x-1)=f(-x-1)相结合可得函数的周期为4,再分别求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值即可得出结论.

    ∵(x)是定义在R上的奇函数

    ∴f(0)=0,f(-x)=-f(x)

    因为将f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个偶函数的图象,

    所以有f(x-1)=f(-x-1)⇒f(x-1)=-f(x+1)⇒f(t+2)=-f(t)⇒f(t+4)=f(t).

    即4是函数的周期.

    ∴f(3)=f(-1)=-f(1)=-1;f(2)=-f(0)=0;f(4)=f(0)=0.

    ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)

    =502×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2009)

    =502×[1+0+(-1)+0]+f(1)

    =f(1)=1.

    故选B

    点评:

    本题考点: 函数的周期性.

    考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性和周期性以及函数图象的平移,是对基础知识的考查,属于基础题.