Question

设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n项和，m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，求证： 1

Answer 1

当各项均为正数的等比数列{a _n}的公比q=1时，

1

S 2m +

1

S 2n =

1

( ma 1 ) 2 +

1

( na 1 ) 2 =

1

a 1 2 （

1

m 2 +

1

n 2 ）≥

1

a 1 2 ×

2

mn ，

∵m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，

∴2p≥2

mn ，

∴

2

p 2 ≤

2

mn ，

∴

1

a 1 2 •

2

p 2 ≤

1

a 1 2 •

2

mn ，又

2

S 2p =

1

a 1 2 •

2

p 2 ；

∴

1

S 2m +

1

S 2n ≥

2

S 2p ；

当q≠1时，

1

S 2m =

(1-q) 2

a 1 2 (1 -q m ) 2 ，

1

S 2n =

(1-q) 2

a 1 2 (1 -q n ) 2 ，

1

S 2p =

(1-q) 2

a 1 2 (1 -q p ) 2 ，

要证

1

S 2m +

1

S 2n ≥

2

S 2p ，只需证

1

(1 -q m ) 2 +

1

(1 -q n ) 2 ≥

2

(1 -q p ) 2 ．

∵

1

(1 -q m ) 2 +

1

(1 -q n ) 2 ≥

2

(1 -q m )(1 -q n ) ，

∴只需证（1-q ^m）•（1-q ⁿ）≤（1-q ^p） ²，

即证-q ^m-q ⁿ+q ^m+n≤-2q ^p+q ^2p，∵m+n=2p，

∴只需证q ^m+q ⁿ≥2q ^p．

∵q ^m+q ⁿ≥2

q m •q n =2

q m+n =2 q

m+n

2 =2q ^p成立，

∴q≠1时，原结论成立．

综上所述，

1

S 2m +

1

S 2n ≥

2

S 2p ．