Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足 ，其中m、n∈R，且m-2n=1，

Answer 1

(1)设C(x，y)，因为

，

则(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，

∴

，

∵m-2n=1，

∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0．

(2)由

得

，

由题意知

，

设

，则

，

，

因为以MN为直径的圆过原点，

∴

，

即

，

∴

，

即

，

∴

为定值．

(3)∵

，

∴

，

∵

，

∴

，

∴

，及

，∴

，

从而0＜2a≤1；

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1]。