已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连接A

3个回答

  • 解题思路:(1)由于AB是⊙O的直径,则∠ACB=90°,只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可;由垂径定理易知弧AC=弧AE,而C是弧AD的中点,那么弧CD=弧AE,即∠PAC=∠PCA,根据等角的余角相等,还可得到∠AQC=∠PCQ,由此可证得AP=PC=PQ,即P是△ACQ的外心;

    (2)由(1)的相等弧可知:∠ABC=∠ACE=∠CAQ,那么它们的正切值也相等;在Rt△CAF中,根据CF的长及∠ACF的正切值,通过解直角三角形可求得AC的长,进而可在Rt△CAQ中,根据∠CAQ的正切值求出CQ的长;

    (3)由(1)知:PQ=CP,则所求的乘积式可化为:CF2=FP•FG;在Rt△ACB中,由射影定理得:CF2=AF•FB,因此只需证明AF•FB=FG•FP即可,将上式化成比例式,证线段所在的三角形相似即可,即证Rt△AFP∽Rt△GFB.

    (1)证明:∵C是

    AD的中点,∴

    AC=

    CD,

    ∴∠CAD=∠ABC

    ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.

    ∴∠CAD+∠AQC=90°

    又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°

    ∴∠AQC=∠PCQ

    ∴在△PCQ中,PC=PQ,

    ∵CE⊥直径AB,∴

    AC=

    AE

    AE=

    CD

    ∴∠CAD=∠ACE.

    ∴在△APC中,有PA=PC,

    ∴PA=PC=PQ

    ∴P是△ACQ的外心.

    (2)∵CE⊥直径AB于F,

    ∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=[CF/BF=

    3

    4],CF=8,

    得BF=

    32

    3.

    ∴由勾股定理,得BC=

    CF2+BF2=[40/3]

    ∵AB是⊙O的直径,

    ∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=[AC/BC]=[3/4],BC=[40/3],

    ∴AC=10,

    易知Rt△ACB∽Rt△QCA,

    ∴AC2=CQ•BC,

    ∴CQ=

    AC2

    BC=[15/2];

    (3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°

    ∴∠DAB+∠ABD=90°

    又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°

    ∴∠DAB=∠G;

    ∴Rt△AFP∽Rt△GFB,

    ∴[AF/FG=

    FP

    BF],即AF•BF=FP•FG

    易知Rt△ACF∽Rt△CBF,

    ∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)

    ∴FC2=PF•FG,

    由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC

    ∴(FP+PQ)2=FP•FG.

    点评:

    本题考点: 勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;三角形的外接圆与外心;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查了圆心角、弧的关系,圆周角定理,三角形的外接圆,勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识.