已知m∈R,命题p:对任意x∈[0,8],不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立;命题q:对任意x∈(0,23π)

1个回答

  • 解题思路:(I)不等式

    log

    1

    3

    (x+1)≥

    m

    2

    −3m

    恒成立等价于m2-3m小于或等于

    log

    1

    3

    (x+1)

    在x∈[0,8]上的最小值,从而问题转化为利用单调性求函数f(x)=

    log

    1

    3

    (x+1)

    最小值问题,求得m的范围;(2)由(1)得命题p的等价命题,再求命题q的等价命题,根据p且q为假,p或q为真,利用真值表可推得p与q有且只有一个为真,分别解不等式组即可得m的取值范围.

    (Ⅰ)令f(x)=log

    1

    3(x+1),

    则f(x)在(-1,+∞)上为减函数,

    因为x∈[0,8],所以当x=8时,f(x)min=f(8)=-2.

    不等式log

    1

    3(x+1)≥m2−3m恒成立,等价于-2≥m2-3m,

    解得1≤m≤2.

    (Ⅱ)不等式1+sin2x−cos2x≤2mcos(x−

    π

    4)恒成立,

    即2sinx(sinx+cosx)≤

    2m(sinx+cosx)恒成立,

    又x∈(0,

    2

    3π)时,sinx+cosx为正,

    所以m≥

    2sinx对任意x∈(0,

    2

    3π)恒成立,

    ∵x∈(0,

    2

    3π),∴0<sinx≤1,0<

    2sinx≤

    2

    ∴m≥

    2

    即命题q:m≥

    2

    若p且q为假,p或q为真,则p与q有且只有一个为真.

    若p为真,q为假,那么

    点评:

    本题考点: 命题的真假判断与应用.

    考点点评: 本题考查了不等式恒成立问题的解法,求命题的等价命题的方法,利用真值表判断命题真假的方法和应用,恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键