解题思路:(I)不等式
log
1
3
(x+1)≥
m
2
−3m
恒成立等价于m2-3m小于或等于
log
1
3
(x+1)
在x∈[0,8]上的最小值,从而问题转化为利用单调性求函数f(x)=
log
1
3
(x+1)
最小值问题,求得m的范围;(2)由(1)得命题p的等价命题,再求命题q的等价命题,根据p且q为假,p或q为真,利用真值表可推得p与q有且只有一个为真,分别解不等式组即可得m的取值范围.
(Ⅰ)令f(x)=log
1
3(x+1),
则f(x)在(-1,+∞)上为减函数,
因为x∈[0,8],所以当x=8时,f(x)min=f(8)=-2.
不等式log
1
3(x+1)≥m2−3m恒成立,等价于-2≥m2-3m,
解得1≤m≤2.
(Ⅱ)不等式1+sin2x−cos2x≤2mcos(x−
π
4)恒成立,
即2sinx(sinx+cosx)≤
2m(sinx+cosx)恒成立,
又x∈(0,
2
3π)时,sinx+cosx为正,
所以m≥
2sinx对任意x∈(0,
2
3π)恒成立,
∵x∈(0,
2
3π),∴0<sinx≤1,0<
2sinx≤
2
∴m≥
2
即命题q:m≥
2
若p且q为假,p或q为真,则p与q有且只有一个为真.
若p为真,q为假,那么
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题考查了不等式恒成立问题的解法,求命题的等价命题的方法,利用真值表判断命题真假的方法和应用,恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键