Question

设数列{a n }的前n项和S n =3a n -2（n=1，2，…）．

Answer 1

（Ⅰ）证：因为S _n=3a _n-2（n=1，2，…），S _n-1=3a _n-1-2（n=2，3，…），

所以当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=3a _n-3a _n-1，整理得 a n =

3

2 a n-1 ．

由S _n=3a _n-2，令n=1，得a ₁=3a ₁-2，解得a ₁=1．

所以{a _n}是首项为1，公比是

3

2 的等比数列．…（6分）

（Ⅱ）由b _n+1=a _n+b _n（n=1，2，…），

得b _n+1-b _n=a _n（n=1，2，…）．

所以

b 2 - b 1 = a 1 ，

b 3 - b 2 = a 2 ，

…

b n - b n-1 = a n-1 ，

从而 b n = b 1 +[ a 1 + a 2 +…+ a n-1 ]=-3+

1- (

3

2 ) n-1

1-

3

2 =2(

3

2 ) n-1 -5 ．

T n =2[1+

3

2 +(

3

2 ) 2 +…+(

3

2 ) n-1 ]-5n=4×(

3

2 ) n -5n-4 ．…（13分）