Question

设函数f(x)=xe∧x,g(x)=ax∧2+x.若当x≥0时 恒有f(x)≥g(x),求a的取值范围

Answer 1

即ax²≤xe^x-x,在x>=0时恒成立.

x=0时,成立

x>0时即 a≤e^x/x-1/x=(e^x-1)/x 恒成立

设g(x) =(e^x-1)/x (x>0)

g'(x)=(xe^x-e^x)/x²+1/x²=[e^x(x-1)+1]/x²

h(x)=e^x(x-1)+1

h'(x)=e^x(x-1)+e^x=xe^x>0恒成立

∴h(x)为增函数

∴h（x)>h(0)=0

即g'(x)>0恒成立

∴g(x)为增函数

lim(x-->0)(e^x-1)/x

=lim(x-->0)e^x

=1

x-->0时,g(x)-->1

∴g(x)>1

∴a的取值范围是a≤1