已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴长为4,离心率为1/2.过点(0,-2)的直线l交椭圆于A,

1个回答

  • (1)

    x^2/4+y^2/3=1

    (2)

    设直线l:y=kx-2,代入x^2/4+y^2/3=1

    x^2/4+(kx-2)^2/3=1

    整理得:(4k^2+3)x^2-16kx+4=0

    设A(x1,y1),B(x2,y2)那么C(x1,-y1)

    根据韦达定理:

    x1+x2=16k/(4k^2+3)

    x1x2=4/(4k^2+3)

    易知P(2/k,0)

    设Q(m,0)

    因为C,B,Q三点共线

    所以,kCQ=kBQ

    即-y2/(m-x2)=y1/(m-x1)

    y1(m-x2)+y2(m-x1)=0

    (kx1-2)(m-x2)+(kx2-2)(m-x1)=0

    m[k(x1+x2)-4)-2kx1x2+2(x1+x2)=0

    ∴m[k(x1+x2)-4]=2kx1x2-2(x1+x2)

    m[16k^2/(4k^2+3)-4]=8k/(4k^2+3)-32k/(4k^2+3)

    -12m=-24k

    ∴m=2k

    ∴|OP|*|OQ|=2/|k|*2|k|=4

    即|OP|*|OQ|为常数4