Question

线性代数的问题已知a4不能由a1,a2,a3线性表示,但a1能由a2,a3,a4线性表示,求证a1能由a2,a3线性表示

Answer 1

证明:由已知a1能由a2,a3,a4线性表示,

存在k2,k3,k4使得 a1 = k2a2+k3a3+k4a4.

又由已知 a4不能由a1,a2,a3线性表示,

则必有 k4 = 0.

假如 k4≠0,则有

a4 = (1/k4)a1 - (k2/k4)a2 - (k3/k4)a3

这与a4不能由a1,a2,a3线性表示矛盾.

故 k4 = 0.

所以 a1 = k2a2+k3a3.

即 a1能由a2,a3线性表示.