解题思路:(1)利用等差数列的通项公式和等差数列的性质,先求出等差数列的首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)利用数列{an}的通项公式对
a
m+1
2
+2
a
m
进行化简整理,再由
a
m+1
2
+2
a
m
为数列{an}中的项进行分析求解,利用列举法能求出所有正整数m.
(1)设数列{an}首项为a1,公差为d,
则a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a1+13d,(2分)
2a5=2(a1+4d)=2a1+8d,
∵a3,2a5,a12成等差数列,
∴a3+a12=2×2a5,
∴2a1+13d=2(2a1+8d),
整理,得2a1+3d=0,(4分)
∵S10=60,∴S10=10a1+
10×9
2d=10a1+45d=60,
解得a1=-3,d=2,
∴an=2n-5,
Sn=n×(-3)+
n(n-1)
2×2=n2-4n.(7分)
(2)∵an=2n-5,
∴
am+12+2
am=
(2m-3)2+2
2m-5
=
[(2m-5)+2]2+2
2m-5
=
(2m-5)2+4(2m-5)+6
2m-5
=2m-5+4+[6/2m-5]
=2m-1+
6
2m-5,(10分)
要使
am+12+2
am为数列{an}中的项,则[6/2m-5]为整数.
m=1,2m-1+
6
2m-5=-5是第二项,
m=2,2m-1+
6
2m-5=-3=2×1-5是第一项,
m=3,2m-1+
6
2m-5=11=2×8-5是第八项,
m=4,2m-1+
6
2m-5=2×7-5是第七项
所有的正整数m为1,2,3,4.(14分)
点评:
本题考点: 数列的求和.
考点点评: 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等差中项等知识点的应用,解题时要注意合理地进行化简整理,注意列举法的合理运用.