设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为前n项和,满足a3,2a5,a12 成等差数列,S10=60.

1个回答

  • 解题思路:(1)利用等差数列的通项公式和等差数列的性质,先求出等差数列的首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn

    (2)利用数列{an}的通项公式对

    a

    m+1

    2

    +2

    a

    m

    进行化简整理,再由

    a

    m+1

    2

    +2

    a

    m

    为数列{an}中的项进行分析求解,利用列举法能求出所有正整数m.

    (1)设数列{an}首项为a1,公差为d,

    则a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a1+13d,(2分)

    2a5=2(a1+4d)=2a1+8d,

    ∵a3,2a5,a12成等差数列,

    ∴a3+a12=2×2a5

    ∴2a1+13d=2(2a1+8d),

    整理,得2a1+3d=0,(4分)

    ∵S10=60,∴S10=10a1+

    10×9

    2d=10a1+45d=60,

    解得a1=-3,d=2,

    ∴an=2n-5,

    Sn=n×(-3)+

    n(n-1)

    2×2=n2-4n.(7分)

    (2)∵an=2n-5,

    am+12+2

    am=

    (2m-3)2+2

    2m-5

    =

    [(2m-5)+2]2+2

    2m-5

    =

    (2m-5)2+4(2m-5)+6

    2m-5

    =2m-5+4+[6/2m-5]

    =2m-1+

    6

    2m-5,(10分)

    要使

    am+12+2

    am为数列{an}中的项,则[6/2m-5]为整数.

    m=1,2m-1+

    6

    2m-5=-5是第二项,

    m=2,2m-1+

    6

    2m-5=-3=2×1-5是第一项,

    m=3,2m-1+

    6

    2m-5=11=2×8-5是第八项,

    m=4,2m-1+

    6

    2m-5=2×7-5是第七项

    所有的正整数m为1,2,3,4.(14分)

    点评:

    本题考点: 数列的求和.

    考点点评: 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等差中项等知识点的应用,解题时要注意合理地进行化简整理,注意列举法的合理运用.