Question

（2014•福建模拟）如图所示，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，且其准线与x轴交于F1，以F1，F2为

Answer 1

解题思路：（1）确定c=1，再利用椭圆的离心率，求出几何量，即可得到椭圆C₂的方程；

（2）假设存在，椭圆方程与抛物线方程联立，求出P的坐标，从而可得结论．

（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）

设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1（a＞b＞0），则c=1，

又e=[c/a]=[1/2]，所以a=2，b²=3

所以椭圆C₂方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（2）假设存在实数m，使得△PF₁F₂的三条边的边长是连续的自然数，则

因为c=m，e=[c/a]=[1/2]，则a=2m，b²=3m²，

设椭圆方程为

x2

4m2+

y2

3m2＝1，与抛物线方程联立得3x²+16mx-12m²=0

即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=[2m/3]，代入抛物线方程得y_P=

2

6m

3

∴P（

2m

3，

2

6m

3）

∴|PF₂|=x_P+m=[5m/3]，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-[5m/3]=[7m/3]，|F₁F₂|=2m=[6m/3]，

∵△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆方程，考查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求法，考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．