由题意可知,焦半距c=1
则e=c/a=√2/2,则a=√2·c=√2,则b=√(a²-c²)=1
则椭圆方程为：x²+2y²=2
倾斜角为45°的直线斜率为k=1,过F(1,0)的的直线为y=k(x-1)
则此直线方程为y=x-1
将y=x-1代入x²+2y²=2中,得：x²+2(x-1)²=2,即3x²-4x=0,即x(3x-4)=0
则x1=0,x2=4/3
代入y=x-1,得：两个交点分别为(0,-1),(4/3,1/3)
则|AB|=√[(0-4/3)²+(-1-1/3)²]=4√2/3