连接OP,设圆P与扇形AOB分别相切与弧段上M,两个半径上的点N,F.分别连接PN,PF
∵⊙P为其内切圆
∴PN,PF分别与扇形的两个半径垂直
∴∠AOB＋∠NPF＝∠PFO＋∠PNO＝180°
∵扇形AOB的圆心角∠AOB为120°
∴∠NPF＝60°
∴∠AOP=60°,∠NPO=∠FPO=30°
∴PO=(2√3)r/3
∵点M,O,P三点共线
又M为切点
∴R=r+(2√3)r/3
∴r=3R/[3+(2√3)]
∵S圆=π(r的平方)
∴S圆P=π({3R/[3+(2√3)]}的平方)