Question

如图,已知直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB 1 .

Answer 1

见解析

【证明】如图,以C ₁点为原点,C ₁A ₁,C ₁B ₁,C ₁C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB ₁=2,

则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A ₁(2,0,0),B ₁(0,2,0),

C ₁(0,0,0),D(1,1,2).

(1)由于

=(0,-2,-2),

=(-2,2,-2),

所以

·

=0-4+4=0,

因此

⊥

,

故BC ₁⊥AB ₁.

(2)取A ₁C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),

所以

=(0,1,1).

又

=(0,-2,-2),

所以

=-

.

又ED和BC ₁不共线,所以ED∥BC ₁.

又DE⊂平面CA ₁D,BC ₁⊄平面CA ₁D,

故BC ₁∥平面CA ₁D.