Question

F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}

Answer 1

（1）显然n阶0方阵∈W,所以W是 Fn*n的非空子集

对任意B1,B2∈W及k∈F,

由于AB1=0 ,AB2=0

则有A(B1+B2)=0, 即B1+B2∈W

A(kB1)=0, 即kB1∈W

所以W是Fn*n的子空间

（2）W的维数为（n-R ）*n . 证明如下：

设B的n个列向量为βj（j=1,2,...,n）

AB=0 等价于 Aβj=0 （j=1,2,...,n）

A的秩为R,所以每个βj都有n-R个基础解向量

从而W的维数=（n-R）*R