(2012•马鞍山二模)设函数f(x)=[a/x]+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

1个回答

  • 解题思路:(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等价于g(x)max-g(x)min≥M;

    (II)对于任意的s、t∈[[1/2],2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max,进一步利用分离参数法,即可求得实数a的取值范围.

    (I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等价于g(x)max-g(x)min≥M

    ∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x(x−

    2

    3)

    ∴g(x)在(0,[2/3])上单调递减,在([2/3],2)上单调递增

    ∴g(x)min=g([2/3])=-[85/27],g(x)max=g(2)=1

    ∴g(x)max-g(x)min=[112/27]

    ∴满足的最大整数M为4;

    (II)对于任意的s、t∈[[1/2],2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max

    由(I)知,在[[1/2],2]上,g(x)max=g(2)=1

    ∴在[[1/2],2]上,f(x)=[a/x]+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x-x2lnx恒成立

    记h(x)=x-x2lnx,则h′(x)=1-2xlnx-x且h′(1)=0

    ∴当[1/2<x<1时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0

    ∴函数h(x)在(

    1

    2],1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,

    ∴h(x)max=h(1)=1

    ∴a≥1

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围,考查等价转化思想,这种常规的数学思想方法值得研究.