Question

已知函数f(x)=1+lnx\x (1）试判断f(x)的单调性,并说明理由（2）f(x)>=k\x+1恒成立,求k的取值

Answer 1

1

f'(x)=0+(1-lnx)/x^2

则当x>e时,1-lnx0;此时单调递增;

2

令F(x)=f(x)-(kx+1)>(1+lnxx)-kx-1=lnxx-kx=(lnx-k)x

则F'(x)=[1-x(lnx-k)]/x^2

当F'(x)=0时,[1-x(lnx-k)]/x^2=0,则

1-x(lnx-k)=0

k=lnx-1/x

k'=1/x+1/x^2>0,

∴k≥lim (lnx-1/x) x→0

=lim (xlnx-1)/x x→0

=lim (lnx+1) x→0

→-∞