解题思路：本题考查解分式方程的能力．（1）中最简公分母为（x-1）（x+1）．（2）中因为2-x=-（x-2），所以可确定方程的最简公分母为x-2．
确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），
得x+1+2x（x-1）=2（x-1）（x+1），
解得x=3，
将x=3代入（x-1）（x+1）=8≠0，
所以原方程的解为：x=3；
（2）方程两边同乘（x-2），得
1=x-1-3（x-2），
解得x=2．
将x=2代入x-2=0，
所以x=2是增根，原方程无解．
点评：
本题考点： 解分式方程．
考点点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．