(2012•闸北区二模)若2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.

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  • 解题思路:若丨x-1丨≥1,2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立,a∈R;于是2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对任意实数x恒成立⇔2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对x∈(0,2)恒成立,对x分x∈(0,1]与x∈(1,2)讨论解决即可.

    ∵当丨x-1丨≥1,即x≥2或x≤0时,2|x-1|≥2,

    ∴2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立,

    ∴原不等式对任意实数a恒成立,

    ∴2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对任意实数x恒成立⇔2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对x∈(0,2)恒成立.

    (1)若当x∈(0,1]时,得|x-a|≥2x,即a≥3x,或a≤-x对x∈(0,1]恒成立,则a≥3,或a≤-1;

    (2)若当x∈(1,2)时,得|x-a|≥4-2x,即a≥4-x,或a≤3x-4对x∈(1,2)恒成立,则a≥3,或a≤-1.

    综上,实数a的取值范围是a≥3,或a≤-1.

    故答案为:(-∞,-1]∪[3,+∞).

    点评:

    本题考点: 绝对值不等式.

    考点点评: 本题考查绝对值不等式,将2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对任意实数x恒成立转化为“2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对x∈(0,2)恒成立”是关键,也是难点,考查观察与分析问题,通过转化解决问题的能力,属于难题.