四棱锥P-ABCD中CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,AB⊥BC,AB=AD=PB.点E在棱PA上

1个回答

  • 作辅助线,连接BD

    因为PB⊥面ABCD,所以PB⊥CD

    又PD⊥CD,PB、PD相交于点P,所以CD⊥面PBD

    线BD在面PBD内,所以CD⊥BD

    因为AB⊥BC,底面ABCD是直角梯形,所以∠ABC=∠DAB=90°

    又因为AB=AD=3,所以△BAD是等腰直角三角形,∠ABD=∠DBC=45°

    根据勾股定理,BD=三倍根号二

    又已证BD⊥CD,所以△BDC是等腰直角三角形

    根据勾股定理,BC=6

    2.以B为原点,BA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,BP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.

    由题得P(0,0,3),A(3,0,0,0),D(3,-3,0)

    过D点作y轴的垂线,垂足为M.

    设CM=x.

    ∵AD⊥AB,AD=AB=3

    ∴BD=三倍根号二

    在三角形PBD中,由勾股定理得PD=根号下27.

    由已知得CD^2=x^2+9,PC^2=(x+3)^2+9

    ∵PD⊥CD

    ∴由勾股定理得27+x^2+9=(x+3)^2+9

    解得x=3,即CB=6.C(0,-6,0)

    ∴向量PA=(3,0,-3),向量CD=(3,3,0)

    cos

    =(9+0+0)/18=1/2

    ∴异面直线PA与CD所成角为60°