Question

已知α1=（1，-2，1）T，α2=（-1，a，1）T依次是三阶不可逆实对称矩阵 A的属于的特征值λ1=1，λ2=-1的

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）首先，根据A不可逆，得到A的特征值必有一个为0；其次，由实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的，建立方程组，求得特征向量即可；最后，再根据对角化矩阵，求得矩阵A．（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出的对角化矩阵，求出A2009，就可以求出A2009β．

（Ⅰ）∵A不可逆

∴A的特征值必有一个为0

设属于0的特征向量为α3＝(b，c，d)T

则α₁、α₂、α₃是正交的

∴

−2a＝0

b−2c+d＝0

−b+ac+d＝0

解得：a=0和满足条件的一个α3＝(1，1，1)T

∴存在可逆矩阵P＝

1−11

−201

111，使得P−1AP＝∧＝

1

−1

0

∴A=P∧P^-1

又容易求出P−1＝−

1

6

−12−1

30−3

−2−2−2

∴A＝−

1

3

11−2

1−21

−211

（Ⅱ） 由（I），得

A²⁰⁰⁹β=P∧²⁰⁰⁹P^-1β=P∧P^-1β=Aβ=

0

0

0

点评：

本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，以及实对称矩阵的对角化和正交化，是基础知识点．