这句话的主句是后半句,这句话的谓语是is, 宾语是your permission,所以还需要一个词与I need连用,构成主语,就是说括号里要填的是必须是一个可以引导主语从句的连词,如that,whether,who,what,whatever.根据这句话的意思,需要填的是what,因为need是及物动词,所以不能用that,要用what（这里what相当于the thing that）.
至于你加上only是不是想表达“我只需要你的允许”的意思?如果这样的话,那就是what I need is only your permission 或what I only need is your permission.
我想说你们老师完全没有讲到要点,重点不在于only,而在于that用错了.顺便说一下,only可以做形容词、副词、连词