(1)已知:如图1,在△ABC中,∠A=90°,D为BC中点,E为AB上一点,F为AC上一点,ED⊥DF,连接EF,求证

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  • 解题思路:(1)延长FD到G使GD=DF,连接BG,EG,证△BDG≌△CDF,推出BG=FC,∠C=∠GBD,求出∠EBG=90°即可;

    (2)延长FD到W使WD=DF,连接BW,EW,证△BDW≌△CDF,推出BW=FC,∠C=∠WBD,求出∠EBW=60°即可.

    (1)证明:延长FD到G使GD=DF,连接BG,EG,

    ∵D为BC中点,

    ∴BD=DC,

    ∵在△BDG和△CDF中,

    BD=DC

    ∠FDC=∠BDG

    DG=DF

    ∴△BDG≌△CDF(SAS),

    ∴BG=FC,∠C=∠GBD,

    ∵ED⊥DF,

    ∴EG=EF,

    ∵∠A=90°,

    ∴∠ABC+∠C=90°,

    ∴∠ABC+∠GBD=90°,

    即∠EBG=90°,

    ∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形,

    ∵BG=FC,EG=EF

    ∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形;

    (2)当线段FC=BE时,线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形,

    证明:延长FD到W使WD=DF,连接BW,EW,

    ∵D为BC中点,

    ∴BD=DC,

    ∵在△BDW和△CDF中

    BD=DC

    ∠BDW=∠CDF

    DW=DF

    ∴△BDW≌△CDF(SAS),

    ∴BW=FC,∠C=∠WBD

    ∵ED⊥DF

    ∴EW=EF,

    ∵∠A=120°,

    ∴∠ABC+∠C=60°,

    ∴∠ABC+∠WBD=60°,

    即∠EBW=60°,

    ∴当线段BW=BE(或BE=EW,BW=WE)时,BE、BW、EW能构成一个等边三角形;

    ∵EW=EF,BW=FC

    ∴当线段FC=BE(或BE=EF,EF=FC)时,线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的判定等知识点的应用.