函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P,且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数f(x

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  • 解题思路:(1)先求出函数f(x)与y轴交点P的坐标,然后求出导函数f′(x),根据题意可知f′(2)=0,f′(0)=12,f(2)=0,以及切点P在切线上建立方程组,解之即可求出函数的解析式;

    (2)先求出导函数f′(x),然后令f′(x)>0可求出函数f(x)的单调增区间.

    (1)函数f(x)与y轴交点P(0,d),

    又f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(2)=12a+4b+c=0,①

    又函数f(x)在x=2处取得极值为0,所以f(2)=8a+4b+2c+d=0,②

    又切线的斜率k=12,所以f′(0)=c=12,③

    过P点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0④

    解①,②,③,④得a=2,b=-9,c=12,d=-4

    所以f(x)=2x3-9x2+12x-4

    (2)f′(x)=6x2-18x+12>0得x>2或x<1.

    函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数在某点取得极值的条件,同时考查了方程组的求解,属于中档题.