话说以前没学线性代数之前,老师一直灌输我们一个概念:有几个未知量,就找几个方程组去解,可是学了线代

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  • “有几个未知量,就找几个方程组去解”在大多数情况下没错,但前提是,各个方程的确表示不同的条件,也就是说,形式上方程的个数未必是本质上未知条件的个数.

    线性代数的方法可以帮助你分析一个方程组“本质上”包含几个方程. 例如下面一个线性方程组:

    2x+3y+z=1 (1)

    3x+5y+z=2 (2)

    7x+11y+3z=4 (3)

    形式上,这个方程组含3个方程,3个未知数,应该有唯一解,但具体计算发现其有无穷多

    x=1-2y,z=y-1,y任意.

    产生这种现象的原因是,方程(3)是(1)和(2)的线性组合:(3)=2(1)+(2).

    也就是说,若x,y,z的取值满足(1)和(2),则自然满足(3).再换种说法,就是在这个方程组中(3)不起作用,解这个方程组等价于解(1)和(2).从而,这个方程组“本质上”只含2个方程.

    上面的分析换成线性代数的语言,就是说方程组的秩是r=2,解空间的维数是3-r=3-2=1.从而有无穷多解.

    综上所述,在线性代数中,我们用“方程组的秩”这个概念替代了“方程个数”的概念,从而可以做更准确的分析.

    补充一点,楼下真爱挚恋说的和楼主提的问题不是一回事,同一个线性方程组视在不同数域上讨论时,解的情况是相同的.真爱挚恋所说的是多项式方程的情况.