解题思路:(1)先在四边形AA1B1B中,利用一组对边平行且相等证出四边形B1NAM是平行四边形,从而B1N∥AM,再结合直线与平面平行的判定定理,可得直线B1N∥平面AMC1,再用同样的方法证出CN∥平面AMC1,最后利用平面与平面平行的判定定理,可以证出平面AMC1∥平面NB1C;
(2)先根据直三棱柱的性质,利用线面垂直证出C1M⊥BB1,结合等腰三角形A1B1C1中,中线C1M⊥A1B1,利用直线与平面垂直的判定定理,证出C1M⊥平面AA1B1B,从而得到直线C1M⊥A1B,再结合已知条件AC1⊥A1B,得到A1B⊥平面AC1M,结合AM⊂平面AC1M,最终得到A1B⊥AM.
证明(1)∵M,N分别为A1B1,AB中点,
∴B1M∥NA且B1M=NA,
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC,B1N⊄平面AMC1,
∴B1N∥平面AMC1
连接MN,
∵矩形BB1A1A中,M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形,
∴MC1∥CN,
∵MC1⊂平面AMC,CN⊄平面AMC1,
∴CN∥平面AMC1,
∵CN⊂平面B1CN,B1N⊂平面B1CN,CN∩B1N=N,
∴平面B1CN∥平面AMC1;
(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
BB1⊥平面A1B1C1,C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1,M为A1B1中点,
∴C1M⊥A1B1,
∵A1B1∩BB1=B1,A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B,
∵A1B⊂平面AA1B1B,
∴C1M⊥A1B,
又∵AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M、AC1⊂平面AC1M,
∴A1B⊥平面AC1M,
∵AM⊂平面AC1M,
∴A1B⊥AM.
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的性质;平面与平面平行的判定.
考点点评: 本题在一个特殊的直三棱柱中,通过证明平面与平面平行和两条异面直线互相垂直,着重考查了面面平行的判定定理和线面垂直的判定与性质,属于中档题.