答：
1）
抛物线顶点为D（1,-4）
设抛物线为y=a(x-1)^2-4
经过点E（4,5）,代入得：y=9a-4=5
解得：a=1
所以：抛物线解析式为y=(x-1)^2 -4
所以：y=x^2-2x-3
2）
y=x^2-2x-3=0,x1=3,x2=-1
所以：点A（-1,0）,点B（3,0）
AE直线斜率k=(0-5)/(-1-4)=1
△AEF的面积最大,则点F到AE的距离最大
则过点F的直线与抛物线相切于点F
设切线为y=x+m,联立抛物线方程：
y=x^2-2x-3=x+m
x^2-3x-m-3=0
判别式=(-3)^2-4(-m-3)=0
解得：m=-21/4
解得：切得横坐标x=3/2,纵坐标y=-15/4
点F（3/2,-15/4）到AE直线y=x+1即x-y+1=0的距离：
d=|3/2+15/4+1|/√2=25√2/8
AE=√[(0-5)^2+(-1-4)^2]=5√2
面积S=AE*d/2=5√2*(25√2/8) /2=125/8
所以：点F为（3/2,-15/4）,面积最大值为125/8