由对称性,不妨设点A(a,0),P(acost,bsint).∵AP⊥OP,即向量AP⊥向量OP.∴向量AP·向量OP=0.∴(acost-a,bsint)·(acost,bsinb)=0.===>(acost)²-a²cost+(bsint)²=0.====>c²cos²t-a²cost+a²-c²=0.===>e²cos²t-cost+1-e²=0.===>(cost-1)[e²cost-(1-e²)]=0.===>cost=(1-e²)/e²＜1.===>2e²＞1.===>e＞√2/2.∴√2/2＜e＜1.
设A是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)长轴上的一个顶点,若椭圆上存在点P
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