Question

设m,n∈R,若直线m+1x+n+1y-2=0与圆x-12+y-12=1相切,则m+n的取值范围

Answer 1

显然(m+1)和(n+1)不同时为0

1)若仅有m+1=0,则直线成为y = 2/(n+1)只可能和圆水平相切,而圆的最高和最低点所在直线分别为y=2和y=0,解得n=0

2)若仅有n+1=0,则直线成为x = 2/(m+1)只可能和圆竖直相切,而圆的最右和最左点所在直线分别为x=2和x=0,解得m=0

1)、2)情况下均有m+n = -1

3)直线斜率存在且不为0,

设圆心到直线距离为d,根据点到直线距离公式和相切的定义,

d^2 = (m+n)^2 / [(m+1)^2 + (n+1)^2] = 1

∴(m+n)^2 = (m+1)^2+(n+1)^2,∴2mn = 2m + 2n + 2

∴2m+2n + 2 = 2 + 2(m+n) = 2mn《(m+n)^2

[m+n-(1+√3)][m+n-(1-√3)]》0

结合m+n可取-1得到m+n范围：(-∞,1-√3]∪[1+√3,+∞)