Question

已知当m∈R时，函数f（x）=m（x2-1）+x-a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：（1）当m=0时，f（x）为一次函数，它的图象与x轴恒有交点，得到a为全体实数；（2）当m≠0时，f（x）为二次函数，就是要求二次函数恒与x轴有交点，即y=0时的一元二次方程mx²+x-（m+a）=0恒有解即根的判别式4m²+4am+1恒大于等于0，即要它的根的判别式小于等于0得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．

（1）m=0时，f（x）=x-a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R．

（2）m≠0时，由题意知，方程mx²+x-（m+a）=0恒有实数解，其充要条件是△=1+4m（m+a）=4m²+4am+1≥0．

又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．

∴m=0时，a∈R；m≠0时，a∈[-1，1]．

点评：

本题考点： 一次函数的性质与图象；二次函数的图象；函数与方程的综合运用．

考点点评： 考查学生灵活运用一次函数和二次函数的图象与性质解决数学问题，会利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点个数．掌握函数与方程的综合运用．