Question

数列{a n }满足a1=2，a n+1 =a n 2 +6a n +6（n∈N × ）

Answer 1

（Ⅰ）由a _n+1=a _n ²+6a _n+6得a _n+1+3=（a _n+3） ²，

∴

log ( a n+1 +3)5 =2

log ( a n +3)5 ，即c _n+1=2c _n

∴{c _n}是以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）又c ₁=log ₅5=1，

∴c _n=2 ^n-1，即

log ( a n +3)5 =2 ^n-1，

∴a _n+3= 5 2 n-1

故a _n= 5 2 n-1 -3

（Ⅲ）∵b _n=

1

a n -6 -

1

a n 2 +6 a n =

1

a n -6 -

1

a n+1 -6 ，∴T _n=

1

a 1 -6 -

1

a n+1 -6 =-

1

4 -

1

5 2 n -9 ．

又0＜

1

5 2 n -9 ≤

1

5 2 -9 =

1

16 ．

∴-

5

16 ≤T _n＜-

1

4